Question

1．已知数列{a_n}满足a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列．
（1）求q的值和{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}满足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，可得2（a₃+a₄）=a₄+a₅+a₂+a₃．化为a₂-a₃-a₄+a₅=0，由于a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
可得a₃=q，a₄=2q，a₅=q²，代入解出q．对n分类讨论即可得出．
（2）{b_n}满足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=a_2n-3+a_2n-5+…+a₁+2，及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，
∴2（a₃+a₄）=a₄+a₅+a₂+a₃．
化为a₂-a₃-a₄+a₅=0，
∵a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
∴a₃=q，a₄=2q，a₅=q²，
∴2-q-2q+q²=0，q≠1，
解得q=2．
当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=2a_2k-1，又a₁=1，∴a_2k-1=2^k-1；
当n=2k时，a_2k+2=2a_2k，又a₂=2，a_2k=2×2^k-1=2^k．
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（2）{b_n}满足b_n+1=b_n+a_2n-1（n∈N^*），b₁=2，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_2n-3+a_2n-5+…+a₁+2
=2^n-2+2^n-3+…+1+2
=$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$+2
=2^n-1+1．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．