Question

6．若f（x）是定义在R上的减函数，且对任意的a、b∈R满足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（-2）=12
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（k-2）＜f（2k）-6，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，先求出f（0）的值，再令令a=x，b=-x，根据奇偶性的定义即可判断，
（2）令x=y=-1，求出f（-1）=6，由f（k-2）＜f（2k）-6，转化为f（k-2）＜f（2k-1），根据函数的单调性，得到k-2＞2k-1解得即可．

解答 解：设x=y=0：f（0+0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
再令a=x，b=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
（2）令x=y=-1
则f（-2）=2f（-1）=12
得f（-1）=6，
∵f（k-2）＜f（2k）-6=f（2k）-f（-1）=f（2k）+（-f（-1））=f（2k+1），
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴k-2＞2k+1
解得k＜-3，
故k的取值范围为（-∞，-3）

点评 本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数奇偶性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法．