Question

已知椭圆x²＋＝1的左、右两个顶点分别为A，B.双曲线C的方程为x²－＝1. 设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T.

(Ⅰ)设P, T两点的横坐标分别为x₁，x₂，证明x₁· x₂＝1；

(Ⅱ)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S₁与S₂ ，且·≤15，求S－S的取值范围．

Answer 1

【解析】(Ⅰ)设点P，T，

直线AP的斜率为k(k>0)，则直线AP的方程为y＝k(x＋1)，

联立方程组，整理得(4＋k²)x²＋2k²x＋k²－4＝0，

解得x＝－1或x＝，故x₂＝.

同理可得x₁＝.所以x₁·x₂＝1.

(Ⅱ)设点P(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，

则＝(－1－x₁，－y₁)，＝(1－x₁，－y₁)．

因为·≤15，所以(－1－x₁)(1－x₁)＋y≤15，

即x＋y≤16.

因为点P在双曲线上，则x－＝1，

所以x＋4x－4≤16，即x≤4.

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，则1<x₁≤2.

因为S₁＝＝，S₂＝＝，

所以S－S＝y－y＝(4－4x)－(x－1)＝5－x－4x.

由(Ⅰ)知，x₁· x₂＝1，即x₂＝.

设t＝x，则1<t≤4，

S－S＝5－t－.

设f(t)＝5－t－，则f′(t)＝－1＋＝，

当1<t<2时，f′(t)>0，当2<t≤4时，f′(t)<0，

所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在上单调递减．

因为f(2)＝1，f(1)＝f(4)＝0，

所以当t＝4，即x₁＝2时，(S－S)_min＝f(4)＝0；

当t＝2，即x₁＝时，(S－S)_max＝f(2)＝1，

所以S－S的取值范围为.