Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂=a₁+2，且2a₂，a₄，3a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用2a₂，a₄，3a₃成等差数列，a₂=a₁+2，确定数列的公比，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{a_nb_n}的通项，利用错位相减法，即可求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）因为2a₂，a₄，3a₃成等差数列，
所以2a₄=2a₂+3a₃，
因为{a_n}为等比数列，所以2a₁q³=2a₁q+3a₁q²．
因为a₁≠0，q≠0，所以2q²-3q-2=0，即（q-2）（2q+1）=0．
因为q＞0，所以q=2
因为a₂=a₁+2，所以2a₁=a₁+2，所以a₁=2，
所以a_n=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=n，∴a_nb_n=n•2ⁿ
∴Sn=2+2•22+…+n•2n
∴2Sn=22+2•23+…+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，属于中档题．