Question

20．当x为何值时，函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+6}$有最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 函数化为f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+2}$，根据点与点的距离公式，可以得到几何意义是：x轴上一点C（x，0）到两点A（1，1）、B（2，2）的距离之和．
在x轴另一侧作出点A的对称点，则A₁（1，-1），即可求出其最小值，根据两点式求出直线A₁B的方程，则方程与x轴的交点的横坐标即可所求的x的值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+6}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+2}$，
上式右边的几何意义是：x轴上一点C（x，0）到两点A（1，1）、B（2，2）的距离之和．
在x轴另一侧作出点A的对称点，则A₁（1，-1），
∴|CA|+|CB|=|A₁B|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则点A₁，B的直线方程为$\frac{y-2}{2-（-1）}=\frac{x-2}{2-1}$，即y=3x-4，
令y=0．解得x=$\frac{4}{3}$，
故点C的坐标为（$\frac{4}{3}$，0），
∴当x=$\frac{4}{3}$时，函数f（x）的最小值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了点与点的距离公式，直线方程，和最短路线问题，属于中档题．