Question

20．已知数列{a_n}满足：${a}_{1}=\frac{1}{2}，\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}=\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）在数列{b_n}中是否存在不同的三项依次成等差数列，若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用设${c}_{n}=1-{{a}_{n}}^{2}$，整理出${c}_{n+1}=\frac{2}{3}{c}_{n}$，进一步求出数列${c}_{n}=\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$最后确定${a}_{n}={（-1）}^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}$，进一步利用${a}_{n}={（-1）}^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}$和b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）求出数列${b}_{n}=\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$．
（2）假设存在三项存在等差数列，利用数据左边是奇数，右边是偶数求出矛盾，最后确定结论不成立．

解答 解：（1）数列{a_n}满足：${a}_{1}=\frac{1}{2}，\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}=\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，
则：设${c}_{n}=1-{{a}_{n}}^{2}$，
则：${c}_{n+1}=\frac{2}{3}{c}_{n}$，
当n=1时，${c}_{1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
所以{c_n}是以${c}_{1}=\frac{3}{4}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列．
则：${c}_{n}=\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
由于：${a}_{1}=\frac{1}{2}＞0$a_na_n+1＜0（n≥1），
所以：${a}_{n}=（-1）^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）
所以：${b}_{n}=1-\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n}-1+$$\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（2）假设数列{b_n}存在三项b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列．
则：由于数列{b_n}是以$\frac{1}{4}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
所以：可能2b_s=b_r+b_t，
则：$2•\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{s-1}$=$\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{r-1}$+$\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{t-1}$，
化简整理后得到由于r＜s＜t，所以上式左边是奇数，右边为偶数，所以上式不成立．
在数列{b_n}中不存在不同的三项依次成等差数列．

点评 本题考查的知识要点：数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过把递推式变形转换成等差或等比数列．