Question

设函数y=f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B，那么称函数x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
有下列说法：
①若f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R，则x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换；
②f（x）=|x|（x∈R），x=log3(t2+1)，(t∈R)，则x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
③若f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R，则x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
④设f（x）=log₂x（x＞0），若x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一个等值域变换，且函数f（g（t））的定义域为R，则m的取值范围是m≤-2．
在上述说法中，正确说法的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：已知等值域变换的定义，分别求出f（x）和g（x）的值域和定义域，对①②③④进行一一验证，从而求解；

解答：解：①函数f（x）=2x+b，x∈R的值域为R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，值域不一样，
所以，x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换，故①中结论是正确的；
②可得f（x）=|x|≥0，值域大于等于0，
∵x=log3(t2+1)，(t∈R)，
∴y=f（g（t））=|log3(t2+1)|=log3(t2+1)≥0，值域大于等于0，
所以，x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故②中结论是正确的；
③若f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∵x=g（t）=2^t，
∴y=f（g（t））=（2^t-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换，故③的结论是正确；
④f（x）=log₂x（x＞0），值域为R，
∵x=g（t）=5^t+5^-t+m是y=f（x）的一个等值域变换，
∴函数f（g（t））的定义域为R，值域也为R，
∴f（g（t））=log₂（5^t+5^-t+m）的值域为R，可得5^t+5^-t+m可以取到一切正数，所以m≤-（5^t+5^-t）≤-2，在R上恒成立，
∴m≤-2，故④正确，
综上知，①②③④是正确的
故选D；

点评：考查新定义，解题的关键的是能够读懂新定义，利用了整体代换的思想，是一道综合题；