题目内容
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C. (Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,且 ,求a﹣b的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C, ∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinAsinB=2(1﹣sin2C),
即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB,
由正弦定理得:c2=a2+b2﹣ab,
∴ ,
且角C角为三角形的内角,即 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由 得,a=2sinA,b=2sinB,
,
∵△ABC为锐角三角形, ,又∵
,
∴A∈( ,
),
∴A﹣ ∈(﹣
,
),
∴ ,即a﹣b的取值范围为(﹣1,1)
【解析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理化简已知等式可得c2=a2+b2﹣ab,利用余弦定理可求cosC,结合C角为三角形的内角,可求C的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,利用正弦定理可求a=2sinA,b=2sinB,利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin(A﹣
),可求范围A﹣
∈(﹣
,
),利用正弦函数的性质即可得解a﹣b的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:),还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:
;
;
)的相关知识才是答题的关键.

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