Question

8．已知定义在R上的可导函数为f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的对称性和已知可得g（0）=1，从而求得不等式f（x）＜e^x的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴函数g（x）是R上的减函数，
∵函数f（x+3）是偶函数，
∴函数f（-x+3）=f（x+3），
∴函数关于x=3对称，
∴f（0）=f（6）=1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∴不等式f（x）＜e^x等价g（x）＜1，即g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，属于中档题．