Question

1．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$
（1）判断奇偶性；
（2）判断单调性；
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$的定义域关于原点对称，且f（-x）=-x+$\frac{1}{x}$=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）根据它的导数f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，可得函数f（x）在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
（3）在（-∞，0）上，f（x）=x-$\frac{1}{x}$＜0，在（0，+∞）上，f（x）=x-$\frac{1}{x}$＞0，可得函数的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x+$\frac{1}{x}$=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）由于f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，故函数f（x）在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
（3）在（-∞，0）∪（0，+∞）上，结合函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$ 的图象，如图所示：
可得它的值域为R．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断、函数的单调性、值域，属于基础题．