题目内容
【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
【答案】(1);
(2)存在定点
,其坐标为
或
(3)
【解析】
(1)求得双曲线的渐近线方程,可得,由题意可得
,
,可得双曲线的方程,求出直线
的方程,可令
,求得
的坐标;(2)求得对称点
的坐标,直线
方程,令
,可得
的坐标,假设存在
,运用两直线垂直的条件:斜率之积为
,结合
在双曲线上,化简整理,即可得到定点
;(3)设出直线
的方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理,由向量数量积的性质,可得向量
,
的数量积为0,化简整理,解方程可得
的值,检验判别式大于0成立,进而得到直线
的方程.
解:(1)由已知,得,故双曲线
的方程为
为直线AM的一个方向向量,
直线AM的方程为
它与
轴的交点为
(2)由条件,得且
为直线AN的一个方向向量,
故直线AN的方程为它与
轴的交点为
假设在轴上存在定点
,使得
,则
由及
得
故即存在定点
,其坐标为
或
满足题设条件.
(3)由知,以
为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而
由已知,可设直线的方程为
并设
则由得
由及
得
且
(*)
由
得
故符合约束条件(*).
因此,所求直线的方程为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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