题目内容
【题目】已两动圆和
,把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴交点为
,且曲线
上异于点
的相异两点
、
满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求出此定点的坐标.
【答案】(1);(2)直线
恒过定点
。
【解析】
(1)设两动圆的公共点为,则有
,运用椭圆的定义,即可得到
,
,
,进而得到
的轨迹方程;
(2),设
,
,
,
,根据直线
的斜率不存在和存在,设出直线方程,根据条件,运用向量的数量积的坐标表示,结合韦达定理和直线恒过定点的求法,即可得到定点;
解:(1)设两动圆的公共点为,则有
.
由椭圆的定义可知的轨迹是以
、
为焦点椭圆,且
.
,
所以曲线的方程是:
.
(2)证明:由题意可知:,设
,
,
,
,
当的斜率不存在时,易知满足条件
的直线
为:
,过定点
;
当的斜率存在时,设直线
,联立方程组:
,
把②代入①有:,
③,
④,
因为,所以有
即
,
,
把③④代入整理:,
(有公因式继续化简得
,
或
(舍去
,
综上,直线恒过定点
.
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