题目内容
【题目】已两动圆
和
，把它们的公共点的轨迹记为曲线
，若曲线与
轴的正半轴交点为
，且曲线上异于点的相异两点
、
满足
.
(1)求曲线的方程；
(2)证明直线
恒经过一定点，并求出此定点的坐标.
【答案】（1）
；（2）直线
恒过定点
。
【解析】
（1）设两动圆的公共点为
，则有
，运用椭圆的定义，即可得到
，
，
，进而得到的轨迹方程；
（2）
，设
，
，
，
，根据直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；
解：（1）设两动圆的公共点为，则有
．
由椭圆的定义可知的轨迹是以
、
为焦点椭圆，且
．
，
所以曲线
的方程是：．
（2）证明：由题意可知：，设，，，，
当的斜率不存在时，易知满足条件
的直线为：
，过定点；
当的斜率存在时，设直线
，联立方程组：
，
把②代入①有：
，
③，
④，
因为，所以有
即
，
，
把③④代入整理：
，
（有公因式
继续化简得
，
或
（舍去
，
综上，直线恒过定点．
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