题目内容
【题目】如下图所示的三棱柱中,棱
底面
,
,
,
,
,
分别是
,
,
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求为二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析: 平面
,
平面
.
(Ⅱ)结合建立适当的坐标系,求二面角
的余弦.
试题解析:(Ⅰ)证明:
如下图,取的中点
,
连接,
,
在三棱柱中,
,
,
M,N分别是,
的中点
,
,
底面
,
平面
,
,
平面
,
.
(Ⅱ)解:设,作
,
以A为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系为 (点O与点A重合),
则,
,
由题意,D为BC的中点,
,
,
所以,
,
,
,
,
由M,N分别是,
的中点
,
,
所以,
,
,
设平面的一个法向量为
,
,
,
则
取,则
,
,
于是.
同理可得平面ADN的一个法向量为.
设二面角的平面角为
,
由题意知, 为锐角,
,
因此,二面角的余弦值为
.
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