Question

【题目】如下图所示的三棱柱中，棱底面， ， ， ， ， 分别是， ， 的中点.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求为二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】试题分析： 平面， 平面．

（Ⅱ）结合建立适当的坐标系，求二面角的余弦.

试题解析：（Ⅰ）证明：

如下图，取的中点，

连接， ，

在三棱柱中，

，

，

M，N分别是， 的中点，

，

底面， 平面，

， 平面，

平面．

（Ⅱ）解：设，作，

以A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系为 (点O与点A重合)，

则， ，

由题意，D为BC的中点，

， ，

所以， ， ，

， ，

由M，N分别是， 的中点， ，

所以， ， ，

设平面的一个法向量为，

， ，

则

取，则， ，

于是．

同理可得平面ADN的一个法向量为．

设二面角的平面角为，

由题意知， 为锐角，

，

因此，二面角的余弦值为．