题目内容

如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC,
(1)求证:BE=2AD;
(2)求函数AC=1,EC=2时,求AD的长.
分析:(1)连接DE,因为ACED是圆的内接四边形,所以△BDE∽△BCA,由此能够证明BE=2AD.
(2)由条件得AB=2AC=2,根据割线定理得BD•BA=BE•BC,即(AB-AD)•BA=2AD•(2AD+CE),由此能求出AD.
解答:(1)证明:连接DE,
∵ACED是圆的内接四边形,
∴∠BDE=∠BCA,
∵∠DBE=∠CBA,
∴△BDE∽△BCA,
BE
BA
=
DE
CA

∵AB=2AC,
∴BE=2DE.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴AD=DE,
从而BE=2AD.(5分)
(2)解:由条件得AB=2AC=2,
设AD=t,根据割线定理得
BD•BA=BE•BC,
∴(AB-AD)•BA=2AD•(2AD+CE),
∴(2-t)×2=2t(2t+2),
∴2t2+3t-2=0,
解得t=
1
2
,即AD=
1
2
.(10分)
点评:本题考查与圆有关的比例线段的应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意圆的内接四边形的性质和切割线定理的合理运用.
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