题目内容

已知函数f(x)=ax+
b
x
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
5
2
)
两点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明函数在[1,+∞)上是增函数;
(3)若不等式
4a
3
-2a≥f(x)
对任意的x∈[
1
2
,3]
恒成立,求实数a的取值集合.
分析:(1)由函数f(x)=ax+
b
x
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
5
2
)
两点,列方程能求出函数f(x)的解析式.
(2)设x2>x1≥1,推导出f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(1-
1
x1x2
)=
(x2-x1)(x1x2-1)
x1x2
,由此能够证明f(x)在[1,+∞)上是增函数.
(3)要使不等式
4a
3
-2a≥f(x)
对任意的x∈[
1
2
,3]
恒成立,只需
4a
3
-2afmax(x)
x∈[
1
2
,3]
,由此能求出a的取值集合.
解答:解:(1)∵函数f(x)=ax+
b
x
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
5
2
)
两点,
a+b=2
2a+
b
2
=
5
2
,解得a=1,b=1,
f(x)=x+
1
x
.…..(3分)
(2)设x2>x1≥1,则f(x2)-f(x1)=x2+
1
x2
-x1-
1
x1
=x2-x1+
x1-x2
x1x2

=(x2-x1)(1-
1
x1x2
)=
(x2-x1)(x1x2-1)
x1x2

∵x2>x1≥1,∴x1x2>0,x2-x1>0,x1x2>1,
∴x1x2-1>0,
故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数.   …(6分)
(3)要使不等式
4a
3
-2a≥f(x)
对任意的x∈[
1
2
,3]
恒成立,
只需
4a
3
-2afmax(x)
x∈[
1
2
,3]

由(2)知f(x)在[1,+∞)上单调递增,
同理可证f(x)在(0,1]上单调递减.
x∈[
1
2
,3]
时,f(x)在[
1
2
,1]
上单调递减,f(x)在[1,3]上单调递增.
f(
1
2
)=
5
2
f(3)=
10
3

∴当x∈[
1
2
,3]
时,fmax(x)=f(3)=
10
3

4a
3
-2a
10
3
4a-3•2a-10≥0⇒(2a+2)(2a-5)≥0⇒2a≥5⇒a≥log25

∴a的取值集合是{a|a≥log25}.…(10分)
点评:本题考查函数解析式的求法,考查函数单调性的证明,考查实数的取值集合的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意定义法和等价转化思想的合理运用.
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