题目内容
已知函数f(x)=ax+
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
)两点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明函数在[1,+∞)上是增函数;
(3)若不等式
-2a≥f(x)对任意的x∈[
,3]恒成立,求实数a的取值集合.
b |
x |
5 |
2 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明函数在[1,+∞)上是增函数;
(3)若不等式
4a |
3 |
1 |
2 |
分析:(1)由函数f(x)=ax+
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
)两点,列方程能求出函数f(x)的解析式.
(2)设x2>x1≥1,推导出f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(1-
)=
,由此能够证明f(x)在[1,+∞)上是增函数.
(3)要使不等式
-2a≥f(x)对任意的x∈[
,3]恒成立,只需
-2a≥fmax(x),x∈[
,3],由此能求出a的取值集合.
b |
x |
5 |
2 |
(2)设x2>x1≥1,推导出f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(1-
1 |
x1x2 |
(x2-x1)(x1x2-1) |
x1x2 |
(3)要使不等式
4a |
3 |
1 |
2 |
4a |
3 |
1 |
2 |
解答:解:(1)∵函数f(x)=ax+
(其中a,b为常数)的图象经过(1,2),(2,
)两点,
∴
,解得a=1,b=1,
∴f(x)=x+
.…..(3分)
(2)设x2>x1≥1,则f(x2)-f(x1)=x2+
-x1-
=x2-x1+
=(x2-x1)(1-
)=
,
∵x2>x1≥1,∴x1x2>0,x2-x1>0,x1x2>1,
∴x1x2-1>0,
故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数. …(6分)
(3)要使不等式
-2a≥f(x)对任意的x∈[
,3]恒成立,
只需
-2a≥fmax(x),x∈[
,3],
由(2)知f(x)在[1,+∞)上单调递增,
同理可证f(x)在(0,1]上单调递减.
当x∈[
,3]时,f(x)在[
,1]上单调递减,f(x)在[1,3]上单调递增.
又f(
)=
,f(3)=
,
∴当x∈[
,3]时,fmax(x)=f(3)=
,
∴
-2a≥
⇒4a-3•2a-10≥0⇒(2a+2)(2a-5)≥0⇒2a≥5⇒a≥log25,
∴a的取值集合是{a|a≥log25}.…(10分)
b |
x |
5 |
2 |
∴
|
∴f(x)=x+
1 |
x |
(2)设x2>x1≥1,则f(x2)-f(x1)=x2+
1 |
x2 |
1 |
x1 |
x1-x2 |
x1x2 |
=(x2-x1)(1-
1 |
x1x2 |
(x2-x1)(x1x2-1) |
x1x2 |
∵x2>x1≥1,∴x1x2>0,x2-x1>0,x1x2>1,
∴x1x2-1>0,
故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数. …(6分)
(3)要使不等式
4a |
3 |
1 |
2 |
只需
4a |
3 |
1 |
2 |
由(2)知f(x)在[1,+∞)上单调递增,
同理可证f(x)在(0,1]上单调递减.
当x∈[
1 |
2 |
1 |
2 |
又f(
1 |
2 |
5 |
2 |
10 |
3 |
∴当x∈[
1 |
2 |
10 |
3 |
∴
4a |
3 |
10 |
3 |
∴a的取值集合是{a|a≥log25}.…(10分)
点评:本题考查函数解析式的求法,考查函数单调性的证明,考查实数的取值集合的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意定义法和等价转化思想的合理运用.
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已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=( )
1 |
2x+1 |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、3 |