题目内容
【题目】设函数(
).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.
【答案】(1)当时,
递增区间时
,无递减区间,当
时,
递增区间时
,递减区间时
;(2)
或
.
【解析】
(1)求出,对
分类讨论,先考虑
(或
)恒成立
的范围,并以此作为
的分类标准,若不恒成立,求解
,即可得出结论;
(2)有解,即
,令
,转化求函数
只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.
(1),
当时,
恒成立,
当时,
,
综上,当时,
递增区间时
,无递减区间,
当时,
递增区间时
,递减区间时
;
(2),
令,原方程只有一个解,只需
只有一个解,
即求只有一个零点时,
的取值范围,
由(1)得当时,
在
单调递增,
且,函数只有一个零点,原方程只有一个解
,
当时,由(1)得
在
出取得极小值,也是最小值,
当时,
,此时函数只有一个零点,
原方程只有一个解,
当且
递增区间时,递减区间时
;
,当
,
有两个零点,
即原方程有两个解,不合题意,
所以的取值范围是
或
.
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