Question

定义y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比较f（1，3）与f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）设g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，曲线C在x₀处的切线斜率为k，若x₀∈（1，1-a），且存在实数b，使得k=-4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）、由定义知f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0），分别求出f（1，3）与f（2，2）的值后再进行比较．
（2）、要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证x^y＞y^x即可．
（3）、由题意知：g（x）=x³+ax₂+bx+1，且g'（x₀）=k，于是有3x₀²+2ax₀+b=-4在x₀∈（1，1-a）上有解．又由定义知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0即x₀³+ax₀²+bx₀＞0．然后再分类讨论，求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由定义知f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
∴f（1，3）=（1+1）³=8，f（2，2）²=9∴f（1，3）＜f（2，2）．
（2）f（x-1，y）=x^y，f（y-1，x）=y^x
要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证x^y＞y^x
∵xy＞yx?ylnx＞xlny?

lnx

x

＞

lny

y

令h(x)=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

，当x＞e时，h'（x）＜0
∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∵e＜x＜y∴h（x）＞h（y）即

lnx

x

＞

lny

y

∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．
（3）由题意知：g（x）=x³+ax₂+bx+1，且g'（x₀）=k
于是有3x₀²+2ax₀+b=-4在x₀∈（1，1-a）上有解．
又由定义知log₂（x₀³+ax₀²+bx₀+1）＞0即x₀³+ax₀²+bx₀＞0
∵x₀＞1∴x₀²+ax₀＞-b
∴x₀²+ax₀＞3x₀²+2ax₀+4即ax₀＜-2（x₀²+2）
∴a＜-2(x0+

2

x0

)在x₀∈（1，1-a）有解．
设V(x0)=x0+

2

x0

，x0∈(1，1-a)
①当1-a＞

2

即a＜1-

2

时，V(x0)=x0+

2

x0

≥2

2

．
当且仅当x0=

2

时，V(x0)min=2

2

∴当x0=

2

时，-2(x0+

2

x0

)max=-4

2

∴a＜-4

2

．
②当1＜1-a≤

2

时，即1-

2

≤a＜0时，V(x0)=x0+

2

x0

在x₀∈（1，1-a）上递减，
∴x0+

2

x0

＞1-a+

2

1-a

．∴a＜-2[(1-a)+

2

1-a

]整理得：a²-3a+6＜0，无解．
综上所述，实数a的取值范围为(-∞，-4

2

)．

点评：本题是对数函数的综合题，在解题过程中除正确运用对数的图象和性质，还要充分考虑函数的单调性和导数的几何意义．