题目内容

定义y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比较f(1,3)与f(2,2)的大小;
(2)若e<x<y,证明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)设g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C,曲线C在x0处的切线斜率为k,若x0∈(1,1-a),且存在实数b,使得k=-4,求实数a的取值范围.
(1)由定义知f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
∴f(1,3)=(1+1)3=8,f(2,2)2=9∴f(1,3)<f(2,2).
(2)f(x-1,y)=xy,f(y-1,x)=yx
要证f(x-1,y)>f(y-1,x),只要证xy>yx
xyyx?ylnx>xlny?
lnx
x
lny
y

h(x)=
lnx
x
,则h′(x)=
1-lnx
x2
,当x>e时,h'(x)<0
∴h(x)在(e,+∞)上单调递减.
∵e<x<y∴h(x)>h(y)即
lnx
x
lny
y

∴不等式f(x-1,y)>f(y-1,x)成立.
(3)由题意知:g(x)=x3+ax2+bx+1,且g'(x0)=k
于是有3x02+2ax0+b=-4在x0∈(1,1-a)上有解.
又由定义知log2(x03+ax02+bx0+1)>0即x03+ax02+bx0>0
∵x0>1∴x02+ax0>-b
∴x02+ax0>3x02+2ax0+4即ax0<-2(x02+2)
a<-2(x0+
2
x0
)
在x0∈(1,1-a)有解.
V(x0)=x0+
2
x0
x0∈(1,1-a)

①当1-a>
2
a<1-
2
时,V(x0)=x0+
2
x0
2
2

当且仅当x0=
2
时,V(x0)min=2
2

∴当x0=
2
时,-2(x0+
2
x0
)max=-4
2
a<-4
2

②当1<1-a≤
2
时,即1-
2
≤a<0时,V(x0)=x0+
2
x0
在x0∈(1,1-a)上递减,
x0+
2
x0
>1-a+
2
1-a
.∴a<-2[(1-a)+
2
1-a
]
整理得:a2-3a+6<0,无解.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-4
2
)
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