题目内容
【题目】设分别为椭圆
的左、右焦点,点
为椭圆
的左顶点,点
为椭圆
的上顶点,且
.
(1)若椭圆的离心率为
,求椭圆
的方程;
(2)设为椭圆
上一点,且在第一象限内,直线
与
轴相交于点
,若以
为直径的圆经过点
,证明:点
在直线
上.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)由题意离心率以及可以建立关于
,
,
的方程组,求得
,
,
的值即可求解;(2)设
,根据题意将
,
用含
的代数式表示,消去参数
后即可得到
,
所满足的关系式,从而得证.
试题解析:(1)设,由题意,得
,且
,得
,
,
,
∴椭圆的方程为
;(2)由题意,得
,∴椭圆
的方程
,则
,
,
,设
,由题意知
,则直线
的斜率
,直线
的方程为
,当
时,
,即点
,直线
的斜率为
,∵以
为直径的圆经过点
,∴
,∴
,化简得
,又∵
为椭圆
上一点,且在第一象限内,∴
,
,
,由①②,解得
,
,∴
,即点
在直线
上.
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练习册系列答案
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【题目】某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:
原材料 | 甲(吨) | 乙(吨) | 资源数量(吨) |
A | 1 | 1 | 50 |
B | 4 | 0 | 160 |
C | 2 | 5 | 200 |
如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么适当安排生产后,工厂每周可获得的最大利润为______元.