题目内容
【题目】设
分别为椭圆
的左、右焦点，点
为椭圆
的左顶点，点
为椭圆的上顶点，且
.
（1）若椭圆的离心率为
，求椭圆的方程；
（2）设
为椭圆上一点，且在第一象限内，直线
与
轴相交于点
，若以
为直径的圆经过点
，证明：点在直线
上.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由题意离心率以及
可以建立关于
，
，
的方程组，求得，，的值即可求解；（2）设
，根据题意将
，
用含的代数式表示，消去参数后即可得到，所满足的关系式，从而得证．
试题解析：（1）设
，由题意，得
，且
，得
，
，
，
∴椭圆
的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程
，则
，
，
，设，由题意知
，则直线
的斜率
，直线
的方程为
，当
时，
，即点
，直线
的斜率为
，∵以
为直径的圆经过点
，∴
，∴
，化简得
，又∵
为椭圆上一点，且在第一象限内，∴
，
，
，由①②，解得
，
，∴
，即点在直线
上．
练习册系列答案
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【题目】某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
原材料 | 甲(吨) | 乙(吨) | 资源数量(吨) |
A | 1 | 1 | 50 |
B | 4 | 0 | 160 |
C | 2 | 5 | 200 |
如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么适当安排生产后，工厂每周可获得的最大利润为______元.
