Question

12．若直线f（x）=$\frac{1}{2}$x+t经过点P（1，0），且f（a）+f（2b）+f（3c）=-$\frac{1}{2}$，则当3a+2b+c=2时，a²+2b²+3c²取得最小值．

Answer 1

分析 先由直线过定点P（1，0）可得a+2b+3c=2，然后再思考系数的匹配，构造柯西不等式的形式，可求出a²+2b²+3c²的最小值，最后由柯西不等式等号成立求出a，b，c，可得3a+2b+c的值．

解答 解：由直线$f（x）=\frac{1}{2}x+t$经过点P（1，0），得$0=\frac{1}{2}×1+t$，即$t=-\frac{1}{2}$，所以$g（x）=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$．
又由$g（a）+g（2b）+g（3c）=-\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}（a+2b+3c）-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$，即a+2b+3c=2．
由柯西不等式，得$[{{a^2}+{{（\sqrt{2}b）}^2}+{{（\sqrt{3}c）}^2}}]•[{{1^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}]≥{（a+\sqrt{2}•\sqrt{2}b+\sqrt{3}•\sqrt{3}c）^2}=4$，
由此可得a²+$2{b^2}+3{c^2}≥\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$．等号成立的条件为$\frac{a}{1}=\frac{{\sqrt{2}b}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}c}}{{\sqrt{3}}}$且a+2b+3c=2，
即$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{1}{3}$，$c=\frac{1}{3}$，所以3a+2b+c=2．
故答案为：2．

点评 本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用，考查学生的计算能力，正确运用柯西不等式是关键．