Question

（本小题满分12分）

     如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，.

     （Ⅰ）求证：；

     （Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求平面与平面所成的锐角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

在三棱柱中，所有棱长都为2，

则，所以平面

而平面，故

（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.设平面与平面的交线为，

在三棱柱中，，平面，则，

过点作交于点，连接.由，知平面，

则，故为平面与平面所成二面角的平面角。

在中，,则

在中，，,

即平面与平面所成锐角的余弦值为。

方法2：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.

由得，设平面的一个法向量为

而，则，取

而平面，则平面的一个法向量为

于是，

故平面与平面所成锐角的余弦值为。