Question

已知k∈R，且k≠0，是否存在虚数z同时满足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0．若存在，请求出复数z；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在虚数z=a+bi（a，b∈R，且b≠0）同时满足两个条件，再利用复数的模及复数的乘法运算，求出z=a+bi中的a，b，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：不存在，---------------------------------------------------------（2分）
假设存在虚数z=a+bi（a，b∈R，且b≠0）同时满足两个条件，-----（4分）
由条件①|z-1|=1得a²+b²-2a=0，------（1）------------------（6分）
由条件②k•z²+z+1=0得

k(a2-b2)+a+1=0 2abk+b=0

，----------------（9分）
∵k≠0，b≠0，∴a≠0，得a²+b²+2a=0---（2）------------（12分）
由（1）（2）式得a=b=0与b≠0矛盾，---------------------------（13分）
∴不存在虚数z同时满足①②两个条件-------------------------------（15分）

点评：复数方程的化简，以及复数的模的运算，注意存在性问题的处理方法，是中档题．