题目内容

如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于 $数学公式$ ，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

解：（1）在△POC中， $\text{[math]}$ ，OP=2，OC=1，
由 $\text{[math]}$
得PC²+PC-3=0，解得 $\text{[math]}$ ．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴ $\text{[math]}$ ，
在△POC中，由正弦定理得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
记△POC的面积为S（θ），则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时，S（θ）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
解法二： $\text{[math]}$ ，即OC²+PC²+OC•PC=4．
又OC²+PC²+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，
所以 $\text{[math]}$ ，∵OC=PC，
∴ $\text{[math]}$ 时，S（θ）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在△POC中，根据 $\text{[math]}$ ，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．
（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则 $\text{[math]}$ ，利用
两角和差的正弦公式化为 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 时，S（θ）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
解法二：利用余弦定理求得OC²+PC²+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以 $\text{[math]}$ ，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题．