Question

（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于

π

3

，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是OA的中点，求PC；
（2）设∠COP=θ，求△POC周长的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，利用余弦定理，就求出PC即可；
（2）设∠COP=θ，利用正弦定理求出OC，然后求△POC周长的表达式，利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求出最大值及此时θ的值．

解答：（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．
解：（1）在△POC中，∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1
由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos

2π

3

得PC²+PC-3=0，解得PC=

-1+ 13

2

．
（2）∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=

π

3

-θ，
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，即

2

sin 2π 3

=

CP

sinθ

∴CP=

4

3

sinθ，又

OC

sin( π 3 -θ)

=

CP

sin 2π 3

∴OC=

4

3

sin(

π

3

-θ)．
记△POC的周长为C（θ），则C(θ)=CP+OC+2=

4

3

sinθ+

4

3

sin(

π

3

-θ)+2
=

4

3

(

3

2

cosθ+

1

2

sinθ)+2=

4

3

sin(θ+

π

3

)+2
∴θ=

π

6

时，C（θ）取得最大值为

4 3

3

+2．

点评：本题考查解三角形的知识，正弦定理与余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．