Question

已知函数f（x）=x²+（a+2）x+5+a，a∈R．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x＞-1时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）函数的两根一正一负可以用△＞0和两根之积＜0判断解决
（II）当x＞-1时，不等式f（x）≥0恒成立，就是a（x+1）≥-x²-2x-5，由x＞-1得x+1＞0，整理不等式求解即可

解答：解：（Ⅰ）设方程x²+（a+2）x+5+a=0有一正根和一个负根，
则

△=(a+2)2-4(a+5)＞0 5+a＜0

，
解得a＜-5
故答案为a＜-5
（Ⅱ）当x＞-1时，不等式x²+（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即a（x+1）≥-x²-2x-5，因为x＞-1，所以x+1＞0，a≥

-x2-2x-5

x+1

=

-(x+1)2-4

x+1

=-(x+1)-

4

x+1

，
而-(x+1)-

4

x+1

≤-4，当且仅当x=1时等号成立，
所以a≥-4．
故答案为a≥-4

点评：本题考查学生对方程根的理解以及学生的转化思想，将题目中的条件转化后合理利用是解决本题的关键