Question

过点P（4，3）作直线l，直线l与x，y的正半轴分别交于A，B两点，O为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：由题意可得：直线的斜率k＜0，设直线方程为：kx-y+3-4k=0，可得B（0，3-4k），A（4-

3

k

，0），即可得到|OA|+|OB|=7+（-4k）+

3

-k

，进而利用基本不等式求出最值，并且得到k的取值得到直线的方程．

解答：解：由题意可得：设直线的斜率为k，
因为直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，
所以得到k＜0．
则直线l的方程为：y-3=k（x-4），整理可得：kx-y+3-4k=0，
令x=0，得y=3-4k，所以B（0，3-4k）；
令y=0，得到x=4-

3

k

，所以A（4-

3

k

，0），
所以|OA|+|OB|=3-4k+4-

3

k

=7+（-4k）+

3

-k

，
因为k＜0，则|OA|+|OB|=7+（-4k）+

3

-k

≥7+4

3

，
当且仅当-

3

k

=-4k，即k=±

3

2

，
因为k＜0，所以k=-

3

2

，
所以直线l的方程为

3

x+2y-4

3

-6=0．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线的点斜式方程，考查学生利用基本不等式求最小值，在利用基本不等式求最小值时应该注意使用的条件：一正，二定，三相等，此题属于中档题．