题目内容

【题目】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(Ⅰ)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(Ⅱ)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)证明:如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.
∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC.
△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
∵△ACD是直角三角形,
∴AC是斜边,∴∠ADC=90°.
∴DO= AC.
∴DO2+BO2=AB2=BD2
∴∠BOD=90°.
∴OB⊥OD.
又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.
又OB平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:设点D,B到平面ACE的距离分别为hD , hE . 则 =

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,
= = =1.
∴点E是BD的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2.
则O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0, ,0),E
=(﹣1,0,1), = =(﹣2,0,0).
设平面ADE的法向量为 =(x,y,z),则 ,即 ,取 =
同理可得:平面ACE的法向量为 =(0,1, ).
∴cos = = =﹣
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为
【解析】(Ⅰ)如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.△ABC是等边三角形,可得OB⊥C.由已知可得:△ABD≌△CBD,AD=CD.△ACD是直角三角形,可得AC是斜边,∠ADC=90°.可得DO= AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2 . 可得OB⊥OD.利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.
(Ⅱ)设点D,B到平面ACE的距离分别为hD , hE . 则 = .根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,可得 = = =1,即点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2.利用法向量的夹角公式即可得出.
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

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