题目内容
（2011•静海县一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，且椭圆的离心率为
．
（Ⅰ）试求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x0表示点Q的坐标．
| ||
| 2 |
（Ⅰ）试求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x0表示点Q的坐标．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，求出m，可得右焦点坐标，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程与抛物线联立，利用以线段MN为直径的圆过原点，结合向量知识，即可求直线l的方程；
（Ⅲ）确定A、B的坐标，可得直线的方程，令y=0，即可求得结论．
（Ⅱ）设直线l的方程与抛物线联立，利用以线段MN为直径的圆过原点，结合向量知识，即可求直线l的方程；
（Ⅲ）确定A、B的坐标，可得直线的方程，令y=0，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆mx2+4y2=1的离心率为
，
∴
=
，∴m=2
∴2x2+4y2=1的右焦点坐标为（
，0）
∵抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，
∴抛物线C的方程为y2=2x；
（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线方程代入抛物线方程可得k2x2+（4k-2）x+4=0，则x1+x2=-
，x1x2=
∴y1y2=8-
∵以线段MN为直径的圆过原点，∴
•
=0
∴x1x2+y1y2=0
∴
+8-
=0
∴k=-1
∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）设圆的方程为x2+y2=t，与抛物线方程联立，可得x2+2x-t=0
设A（x0，
），则t=x02+2x0，B（0，x02+2x0）
∴直线AB的方程为y-（x02+2x0）=
（x-0）
令y=0，则x=
．
∴Q（
，0）
| ||
| 2 |
∴
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
∴2x2+4y2=1的右焦点坐标为（
| 1 |
| 2 |
∵抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，
∴抛物线C的方程为y2=2x；
（Ⅱ）由题意，设l的方程为y=kx+2，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线方程代入抛物线方程可得k2x2+（4k-2）x+4=0，则x1+x2=-
| 4k-2 |
| k2 |
| 4 |
| k2 |
∴y1y2=8-
| 8k-4 |
| k |
∵以线段MN为直径的圆过原点，∴
| OM |
| ON |
∴x1x2+y1y2=0
∴
| 4 |
| k2 |
| 8k-4 |
| k |
∴k=-1
∴l的方程为y=-x+2，即x+y-2=0；
（Ⅲ）设圆的方程为x2+y2=t，与抛物线方程联立，可得x2+2x-t=0
设A（x0，
| 2x0 |
∴直线AB的方程为y-（x02+2x0）=
2
| ||
| x0 |
令y=0，则x=
| x03+2x02 | ||
x02+2x0-2
|
∴Q（
| x03+2x02 | ||
x02+2x0-2
|
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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