Question

已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求函数g（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：通过二倍角公式以及两角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）通过正弦函数的对称轴直接求函数f（x）图象的对称轴方程，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；
（2）利用函数g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求出函数g（x）的表达式，求出2x-

π

4

的范围，然后求解函数在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

解答：解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

）．
由于函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=π，故ω=1，即函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间是[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（

π

4

-x）=

2

sin（2x-

π

4

）-

2

sin[2（

π

4

-x）-

π

4

]=2

2

sin（2x-

π

4

），
由于x∈[

π

8

，

3π

4

]，则0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
故当2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

时函数g（x）取得最大值2

2

，当2x-

π

4

=

5π

4

即x=

3π

4

时函数g（x）取得最小值-2．

点评：本题考查三角函数的基本知识，两角差的正弦函数的应用，函数的对称轴与单调减区间的求法，函数的最值的求解，考查计算能力．