Question

直线y=x+b（b≠0）交抛物线y=

1

2

x2于A、B两点，
（1）求抛物线的焦点和准线；
（2）O为抛物线的顶点，

OA

•

OB

=0，则b值为多少？

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将抛物线化为标准方程求出p，再由求出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2））设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数关系得x₁+x₂和x₁x₂，由数量积的运算列出关于b的方程，代入坐标的和与积后求解b的值，再验证△＞0成立．

解答： 解：（1）由y=

1

2

x2得，x²=2y，则p=1，
所以抛物线的焦点坐标是（0，

1

2

），准线方程是y=-

1

2

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x+b x2=2y

得，x²-2x-2b=0，
则△（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0，
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，
因为

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0
2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
所以2×（-2b）+2b+b²=0，即-2b+b²=0，
因为b≠0，所以b=2，满足△=4+8×2=20＞0．
所以b值为2．

点评：本题考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量的数量积运算，以及一元二次方程的根与系数的关系，是中档题．