题目内容
已知平面内的动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若A、B为轨迹C上的两点,已知FA⊥FB,且△FAB的面积S△FAB=4,求直线AB的方程.
分析:(1)设动点P的坐标为(x,y),根据动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1.代入两点之间距离公式,及点到直线的距离公式,化简即可得到点P的轨迹C的方程;
(2)设直线AB的方程为x=ty+m,结合FA⊥FB,且△FAB的面积S△FAB=4,我们可以构造出关于m的方程,解方程求出m值,即可求出满足条件的直线AB的方程.
(2)设直线AB的方程为x=ty+m,结合FA⊥FB,且△FAB的面积S△FAB=4,我们可以构造出关于m的方程,解方程求出m值,即可求出满足条件的直线AB的方程.
解答:(1)设点P(x,y),根据题意得
=|x+2|-1
当x≥-2时,则
=x+1
两边平方化简得y2=4x
当x<-2时,则
=-x-3≥0得x≤-3
又由
=-x-3≥0化简得y2=8x+8
得x≥-1与x<-2矛盾
故点P的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=ty+m
由
得y2-4ty-4m=0
由△=16t2+16m>0得t2+m>0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4m|y1-y2|=
=
=4
=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2)
由
•
=0,得x1•x2-(x1+x2)+1+y1•y2=0
又由x1=t•y1+m,x2=t•y2+m,得4t2=m2-6m+1
S△ABF=
|m-1|×4
=|m-1|
=|m-1|
=(m-1)2,
由(m-1)2=4,解得m=-1,或m=3
将m=-1代入4t2=m2-6m+1得t2=2,
将m=3代入4t2=m2-6m+1得4t2=9-18+1=-8<O不成立,
∴m=3不合是题意舍去
∴所求直线AB的方程为x±
y+1=0
(x-1)2+y2 |
当x≥-2时,则
(x-1)2+y2 |
两边平方化简得y2=4x
当x<-2时,则
(x-1)2+y2 |
又由
(x-1)2+y2 |
得x≥-1与x<-2矛盾
故点P的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设直线AB的方程为x=ty+m
由
|
由△=16t2+16m>0得t2+m>0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4m|y1-y2|=
(y1+y2) 2-4y1y2 |
16t2+16m |
t2+m |
FA |
FB |
由
FA |
FB |
又由x1=t•y1+m,x2=t•y2+m,得4t2=m2-6m+1
S△ABF=
1 |
2 |
t2+m |
4t2+4m |
m2-2m+1 |
由(m-1)2=4,解得m=-1,或m=3
将m=-1代入4t2=m2-6m+1得t2=2,
将m=3代入4t2=m2-6m+1得4t2=9-18+1=-8<O不成立,
∴m=3不合是题意舍去
∴所求直线AB的方程为x±
2 |
点评:本题考查的知识点是直线的一般式方程,抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题,(1)中关键是根据已知,构造关于动点P的方程,(2)的关键是“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”.

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