题目内容

(本小题满分12分)

    已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形,侧面ABB1A1是菱形,且, M是A1B1的中点,

    (1)求证:平面ABC;

    (2)求二面角A1—BB­1—C的余弦值。

 

【答案】

(Ⅰ)见解析;   (Ⅱ)

【解析】本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。

(1)对于线面垂直的证明,一般利用线线垂直,通过判定定理得到线面垂直的证明,关键是

(2)建立合理的空间直角坐标系,然后表示出平面的法向量,以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。

(Ⅰ)∵侧面是菱形且 ∴为正三角形

         又∵点的中点 ∴ 

         ∵ ∴

         由已知 ∴平面                          (4分)

   (Ⅱ)(法一)连接,作,连接

由(Ⅰ)知,∴

 ∴ ∴

为所求二面角的平面角       (8分)

设菱形边长为2,则

中,由知:

中,   ∴

即二面角的余弦值为                     (12分)

(法二)如图建立空间直角坐标系

设菱形边长为2

设面的法向量,由,

,令,得                         (8分)

设面的法向量, 由

,令,得                  (10分)

.

又二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为      (12分)

 

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