题目内容
(本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形,侧面ABB1A1是菱形,且, M是A1B1的中点,
(1)求证:平面ABC;
(2)求二面角A1—BB1—C的余弦值。
【答案】
(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)。
【解析】本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。
(1)对于线面垂直的证明,一般利用线线垂直,通过判定定理得到线面垂直的证明,关键是
(2)建立合理的空间直角坐标系,然后表示出平面的法向量,以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。
(Ⅰ)∵侧面是菱形且 ∴为正三角形
又∵点为的中点 ∴
∵∥ ∴
由已知 ∴平面 (4分)
(Ⅱ)(法一)连接,作于,连接
由(Ⅰ)知面,∴
又 ∴面 ∴
∴为所求二面角的平面角 (8分)
设菱形边长为2,则
在中,由知:
在中, ∴
即二面角的余弦值为 (12分)
(法二)如图建立空间直角坐标系
设菱形边长为2
得,
,
则,
,
设面的法向量,由,得
,令,得 (8分)
设面的法向量, 由,得
,令,得 (10分)
得.
又二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为 (12分)
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