Question

6．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，若对任意正整数n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a₃+2是a₂，a₄的等差中项可知2（a₃+2）=a₂+a₄，结合a₂+a₃+a₄=28可知a₃=8，进而通过解方程$\frac{8}{q}$+8q=20可知公比q=2，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=-n•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论；
（3）通过（2）并整理可知，对任意正整数n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立等价于m＜$\frac{1}{{2}^{n}}$-1对任意正整数n恒成立，问题转化为求f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1的最小值，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
又∵a₂+a₃+a₄=28，
∴2（a₃+2）=28-a₃，
解得：a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
设等比数列{a_n}的公比为q，则$\frac{8}{q}$+8q=20，
解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=-（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
则-2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹；
（3）由（2）可知，对任意正整数n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，
即-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹+（n+m）a_n+1＜0恒成立，
整理得：m＜$\frac{1}{{2}^{n}}$-1对任意正整数n恒成立，
易知f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1随着n的增大而减小，即f（n）∈（-1，-$\frac{1}{2}$]，
∴m≤-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．