题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面是平行四边形，
，
.
（1）求异面直线
与
所成的角；
（2）若
，
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）取
的中点
，连接
，根据
为等腰三角形得到
，故
平面
，从而
.
（2）由（1）得到
且
，
，故以为原点建立空间直角坐标系，通过计算平面
和平面
的法向量的夹角的余弦值得到二面角的余弦值.
详解：（1）取
中点，连接
.
因为
为等腰三角形且为的中点，故
，
同理，有
，而
，故平面.
又
平面，故
面
，所以异面直线与
所成的角为
.
（2）设
，则
，
，又
，可得.
由（1）知
，从而
平面
，
以为坐标原点，
的方向分别为
轴建立坐标系.
则
，
，
，
，
，所以
，
，
，
，
可求得平面
的法向量
，
平面
的法向量
，
所以
又二面角
为锐角，故二面角的余弦值为.
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