Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量

m

=（c-2b，a），

n

=（cosA，cosC）且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=4，求边BC的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中

m

=（c-2b，a），

n

=（cosA，cosC）且

m

⊥

n

，转化为关于A角的三角方程，解方程，即可求出A角大小．
（2）由（1）的中结论，代入余弦定理，结合基本不等式，可得两边和的最小值，代入即可求出边BC的最小值．

解答：解：（1）∵向量

m

=（c-2b，a），

n

=（cosA，cosC）且

m

⊥

n

．
∴（c-2b）cosA+acosC=0
∴sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA
∴sin（A+C）=2sinBcosA
∴sinB=2sinBcosA
∴cosA=

1

2

又∵A为三角形内角
∴A=

π

3

；
（2）若

AB

•

AC

=4，
即cb=8
由基本不等式可得
由余弦定理得a²=b²+c²-2bcsosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-24
又∵（b+c）²≥4bc=32
∴a²≥8，即a≥2

2

边BC的最小值为2

2

．

点评：正弦定理和余弦定理是解三角形最常用的性质，大家一定要熟练掌握其定理的内容和相关推论变形．