题目内容
【题目】(2015·新课标I卷)在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a>0)交与M,N两点,
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P , 使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
【答案】
(1)
x-y-a=0或
x+y+a=0
(2)
存在
【解析】
(I)由题设可得M(2,a), N(-2
,a), 或M(-2
,a), N(2
,a), ∵y'=
x, 故y=
在x=2
a处的导数值为
,C在(2
a,a)处的切线方程为y-a=
(x-2
), 即
x-y-a=0. 故y=
在x=-2
a处的导数值为-
,C在(-2
a,a)处的切线方程为y-a=-
(x+2
), 即
x+y+a=0。 故所求切线方程为
x-y-a=0或
x+y+a=0。
(II)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为复合题意得点,M(x1,y1), N(x2,y2), 直线PM, PN的斜率分别为k1,k2, 将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0. ∴ x1+x2=4k, x1x2=-4a. ∴k1+k2==
=
. 当b=-a时,有k1+k2=0, 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以P(0,-a)符合题意。
【考点精析】认真审题,首先需要了解抛物线的参数方程(抛物线的参数方程可表示为
).
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