Question

【题目】(2015·新课标I卷）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=kx+a(a＞0)交与M,N两点，
（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）y轴上是否存在点P ， 使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

x-y-a=0或x+y+a=0

（2）

存在

【解析】
(I)由题设可得M（2,a), N(-2,a), 或M（-2，a), N(2,a), ∵y'=x, 故y=在x=2a处的导数值为，C在（2a,a)处的切线方程为y-a=(x-2), 即x-y-a=0. 故y=在x=-2a处的导数值为-，C在（-2a,a)处的切线方程为y-a=-(x+2), 即x+y+a=0。 故所求切线方程为x-y-a=0或x+y+a=0。
(II)存在符合题意的点，证明如下:
设P（0，b)为复合题意得点，M(x1,y1), N（x2,y2), 直线PM, PN的斜率分别为k1,k2, 将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0. ∴ x1+x2=4k, x1x2=-4a. ∴k1+k2===. 当b=-a时，有k1+k2=0, 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以P（0，-a)符合题意。
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线的参数方程(抛物线的参数方程可表示为)．