题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）•cosA-acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围
（3）若a=
，S△ABC=
，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围
（3）若a=
| 3 |
3
| ||
| 4 |
分析：（1）由正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求得结论；
（2）利用三角形的内角和，结合辅助角公式化简函数，确定B的范围，即可求sinB+sinC的取值范围；
（3）利用三角形的面积公式，结合余弦定理，即可判断△ABC的形状．
（2）利用三角形的内角和，结合辅助角公式化简函数，确定B的范围，即可求sinB+sinC的取值范围；
（3）利用三角形的面积公式，结合余弦定理，即可判断△ABC的形状．
解答：解：（1）∵（2b-c）cosA-acosC=0，
∴由正弦定理得，（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，…（2分）
即sinB（2cosA-1）=0．
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=
．…（3分）
∵0＜A＜π，∴A=
．…（4分）
（2）
∵B∈(0，
)，∴B+
∈(
，
)
∴sin(B+
)∈(
，1]，
∴
＜sinB+sinC≤
…（8分）
（3）∵S△ABC=
bcsinA=
，…（9分）
∴bcsin
=
，∴bc=3．①…（10分）
∵a2=b2+c2-2bccosA，∴b2+c2=6．②
由①②得b=c=
，…（11分）
∴△ABC为等边三角形．…（12分）
∴由正弦定理得，（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，…（2分）
即sinB（2cosA-1）=0．
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∵0＜A＜π，∴A=
| π |
| 3 |
（2）
|
∵B∈(0，
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴sin(B+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴
| ||
| 2 |
| 3 |
（3）∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
∴bcsin
| π |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
∵a2=b2+c2-2bccosA，∴b2+c2=6．②
由①②得b=c=
| 3 |
∴△ABC为等边三角形．…（12分）
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角形的面积公式，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |