题目内容
已知函数f(x)＝
x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(1)＝，且函数f(x)在
上不存在极值点，求a的取值范围．
（1）当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－
)，(－1＋
，＋∞)；减区间为(－1－
，－1＋
)．（2）(－∞，0]
【解析】(1)当a＝1时，f′(x)＝x2＋2x＋b.
①若Δ＝4－4b≤0，即b≥1时，f′(x)≥0，
所以f(x)为(－∞，＋∞)上为增函数，所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；
②若Δ＝4－4b>0，即b<1时，f′(x)＝(x＋1＋
)(x＋1－
)，
所以f(x)在(－∞，－1－
)，(－1＋
，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1－
，－1＋
)上为减函数．
所以f(x)的增区间为(－∞，－1－
)，(－1＋
，＋∞)，减区间为(－1－
，－1＋
)．
综上，当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)；减区间为(－1－，－1＋)．
(2)由f(1)＝
，得b＝－a，
即f(x)＝
x3＋ax2－ax，f′(x)＝x2＋2ax－a.
令f′(x)＝0，即x2＋2ax－a＝0，变形得(1－2x)a＝x2，
因为x∈
，所以a＝
.
令1－2x＝t，则t∈(0，1)，＝
.
因为h(t)＝t＋
－2在t∈(0，1)上单调递减，故h(t)∈(0，＋∞)．
由y＝f(x)在
上不存在极值点，得a＝在
上无解，所以，a∈(－∞，0]．
综上，a的取值范围为(－∞，0]
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