Question

如图，已知在正四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点
求证：（1）PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PAC．

Answer 1

证明：（1）连接AC，交BD于O，连接OE，
∵正四棱锥P-ABCD，∴O是AC的中点，
又E是PC的中点，∴OE∥PA，
OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）连接OP，∵正四棱锥P-ABCD，∴AC⊥BD，OP⊥BD，
又∵AC∩PO=O，AC、PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC．
分析：（1）在平面内作已知直线的平行线，利用线线平行证线面平行即可．
（2）根据面面垂直的判定定理，先证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直．
点评：本题考查线面平行的判定及面面垂直的判定．