Question

已知函数，．
（Ⅰ）解方程：；
（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值的表达式；
（Ⅲ）若，，求 的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

试题分析：（Ⅰ），
或（舍去），
所以．
（Ⅱ），，
令，则，
①当时，，
②当时，，
若，则，
若，当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上，．
（Ⅲ）由题意知：，
所以，
其中，所以，
由知的最大值是，又单调递增，
所以．
点评：中档题，本题综合考查分段函数的概念，指数函数的性质，二次函数的图象和性质，均值定理的应用。利用换元思想，将问题转化成二次函数问题，通过变换函数表达式，创建应用均值定理的条件，体现应用数学知识的灵活性。