Question

设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f^-1(x)，f(4)=0，f^-1(4)=________．

   

Answer 1

 [考场错解]  填0  ∵y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f^-1(4)=0

    [专家把脉]  上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键．

    [对症下药]  填-2．

    解法1  ∵f(4)=0，∴f(x)的图像过点(4，0)．又∵f(x)的图像关于点(1，2)对称，∴f(x)的图像过点 (2-4，4-0)即(-2，4)．∴f(-2)=4．∴f^-1(4)=-2．

解法2  设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1，2)对称的点为P′(2-x，4-y)．依题意4-y=f(2-x)，∴4-f(x)=f(2-x)f(x)+f(2-x)=4．令x=4．∴f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0，∴f(-2)=4．∴f^-1(4)=-2．