Question

点P到点A(

1

2

， 0)，  B(a， 2)及到直线x=-

1

2

的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

  或

  3

  2

• D、-

  1

  2

  或

  1

  2

Answer 1

分析：到A和到直线x=-

1

2

的距离相等，则P点轨迹是抛物线方程，再注意B点，用上P到x=-

1

2

的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．

解答：解：法一 由题意有点P在抛物线y²=2x上，设P（

y2

2

，y），则有（

y2

2

+

1

2

）²=（

y2

2

-a）²+（y-2）²，化简得（

1

2

-a）y²-4y+a²+

15

4

=0，当a=

1

2

时，符合题意；
当a≠

1

2

时，△=0，有a³-

a2

2

+

15a

4

+

17

8

=0，（a+

1

2

）（a²-a+

17

4

）=0，a=-

1

2

．故选D．
法二 由题意有点P在抛物线y²=2x上，B在直线y=2上，当a=-

1

2

时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=

1

2

时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．
故选D．

点评：本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．