题目内容
【题目】已知为直平行六面体.命题
为正方体;命题
的任意体对角线与其不相交的面对角线垂直.则命题
是命题
的( )条件 .
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
充分性显然成立,下面证明必要性成立.
如下左图,上下底面为平行四边形,各个侧面均为矩形.
作体对角线和
在平面
上的射影.
因为平面平面
,所以,点
、
的垂足
、
必在直线
上,
和
在平面
上的射影分别为
和
.平面
上的图形如下右图.
由,
,知四边形
是平行四边形,其对角线的交点为
.
又,
,由三垂线定理知
,
.则
.
因为点到
的距离等于点
到
的距离等于
,且
是等腰
两腰上高的交点,所以,
也是等腰三角形.
从而,点与
重合,且
.
故侧面是正方形.
同理,其他侧面四边形均为正方形.
又点、
分别与
、
重合,由此可得底面四边形为正方形.
综上,六面体为正方体.
故答案为:C
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