题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ）的图象和y轴交于（0，1）且y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及x₀；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）如果将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $数学公式$ （纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴负方向平移 $数学公式$ 个单位，最后将y=f（x）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $数学公式$ （横坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式并给出y=|g（x）|的对称轴方程．

解：（1）由y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
T=6π，A=2， $\text{[math]}$ （4分）
令x=0，则1=2sin?
∵|?|＜ $\text{[math]}$
∴?= $\text{[math]}$ （5分）
∴函数式为y=2sin（ $\text{[math]}$ ）（6分）
（2）由 $\text{[math]}$ （10分）
π+6kπ≤x≤4π+2kπ（k∈Z）
∴函数y=f（x）的单调递减区间为[π+6kπ，4π+6kπ]（k∈Z）（11分）
（3）由题意得：y=2sin（ $\text{[math]}$ ）?y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）?y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）?g（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）（14分）
y=|g（x）|的对称轴方程为x=kπ（k∈Z）（16分）
分析：（1）由y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）可得其周期，振幅．从求得A=2， $\text{[math]}$ ，再由令图象和y轴交于（0，1）求得?从而和到函数解析式．
（2）由正弦函数的单调区间，则有 $\text{[math]}$ 解得．
（3）据题意，按照如下思路：y=2sin（ $\text{[math]}$ ）?y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）?y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）?g（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）．
点评：本题主要考查形如：f（x）=Asin（ωx+φ）中各参数的意义及其单调区间的求法和图象的变换．