Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）当

ak-1+bk-1

2

≥0时a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；当

ak-1+bk-1

2

＜0时，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，试求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）证明：数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）设n（n≥2）是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整数，证明n＞log2

a1-b1

a1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3 依此类推按照（2）的规则要求，判断条件，代入计算．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的具体求项，应得到一般的有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，不难证得数列{b_n-a_n}是一个等比数列；
（Ⅲ）先确定必有

ak-1+bk-1

2

≥0  进而bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1，n是满足

an+bn

2

＜0的最小整数． 将此式转化求证．

解答：解：（1）因为

a1+b1

2

=2＞0，所以a₂=a₁=-3，b2=

a1+b1

2

=2
因为

a2+b2

2

=-

1

2

＜0，所以a3=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=2
（2）证明：当

ak-1+bk-1

2

≥0时，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
当

ak-1+bk-1

2

＜0时，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

因此不管哪种情况，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，所以数列{b_n-a_n}是首项为b₁-a₁，
公比为

1

2

的等比数列                                
（3）证明：由（2）可得bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1
因为b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，所以

ak-1+bk-1

2

≥0
此时对于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以bn=a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1
若

an+bn

2

≥0，则bn+1=

an+bn

2

，bn+1=a1+(b1-a1)(

1

2

)n
所以bn+1-bn=[a1+(b1-a1)(

1

2

)n]-[a1+(b1-a1)(

1

2

)n-1]=-(b1-a1)(

1

2

)n＜0，
所以b_n＞b_n+1，这与n是满足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整数相矛盾，
因此n是满足

an+bn

2

＜0的最小整数．

an+bn

2

＜0?a1+(b1-a1)(

1

2

)n＜0?

b1-a1

-a1

＜2n?log2

a1-b1

a1

＜n，命题获证

点评：本题考查等比数列的判定、不等式的证明．要求具有阅读能力、分析解决问题、计算、分类讨论的意识和能力．属于难题．