题目内容
【题目】如图，在棱长为2的正方体
中， 
， 
， 
， 
分别是棱
， 
， 
， 
的中点，点
， 
分别在棱
， 
上移动，且
.
（1）当
时，证明：直线
平面
；
（2）是否存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】以
为原点，射线
， 
， 
分别为
， 
， 
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
.由已知得
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，则
， 
， 
， 
， 
.
（1）当
时， 
，因为
，所以
，即
，又
平面
，且
平面
，故直线
平面
.
（2）设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，于是可取
.
设平面
的一个法向量为
，由
，得
，于是可取
.
若存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角，则
，即
，解得
，显然满足
.
故存在
，使面
与面
所成的二面角为直二面角.
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【题目】为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
愿意购买这款电视机 | 不愿意购买这款电视机 | 总计 | |
40岁以上 | 800 | 1000 | |
40岁以下 | 600 | ||
总计 | 1200 |
（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；
（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在
和
的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在内的概率．
附： | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
