Question

20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{b^2}-{c^2}）$，则sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式结合题中所给条件可得S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{b^2}-{c^2}）$=$\frac{1}{2}$absinC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值．根据三角形内角和为180°将角A、B转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．

解答 解：由题意可知$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2abcosC，
∴tanC=√3．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∴sinA+sinB=sinA+sin（π-C-A）=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
当△ABC为正三角形时取等号，
∴sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力，是中档题．