题目内容

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的类似性质，并加以证明．
分析：类比椭圆的性质可得：若M、N是双曲线C′上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值
b2
a2
．设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x0，y0），N（-x0，-y0）是双曲线上的关于原点对称的两个点．利用
m2
a2
-
n2
b2
=1，
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1，及斜率计算公式即可证明．
解答：解：若M、N是双曲线C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值
b2
a2
．证明如下：
设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x0，y0），N（-x0，-y0）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则
m2
a2
-
n2
b2
=1，
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1，
∴n2-
y
2
0
=b2(
m2
a2
-1)-b2(
x
2
0
a2
-1)=
b2
a2
(m2-
x
2
0
)．
∴kPM•kPN=
n-y0
m-x0
•
n+y0
m+x0
=
n2-
y
2
0
m2-
x
2
0
=
b2
a2
为定值．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
（2010•南宁二模）设F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．
已知椭圆具有性质：若A是椭圆C的一条与x轴不垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A的横、纵坐标的比值与某一常数的积．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值-
b2
a2
．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

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