Question

已知直线l：y=kx+1与双曲线C：

x2

3

-y2=1的左支交于点A，右支交于点B、
（Ⅰ）求斜率k的取值范围；
（Ⅱ）若△AOB的面积为

6

（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）将直线方程与双曲线的方程联立得到关于x的二次方程，根据两个交点的横坐标异号，利用韦达定理得到两个横坐标的积，令其小于0求出k的范围．
（II）根据直线l：y=kx+1的纵截距为1，利用三角形的面积公式表示出△AOB的面积，利用韦达定理表示出|x₂-x₁|，解方程求出k的值，得到直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2-3y2-3=0

?(1-3k2)x2-6kx-6=0
由题意

1-3k2≠0 △=36k2+24(1-3k2)＞0?- 3 3 ＜k＜ 3 3 x1x2= -6 1-3k2 ＜0

（Ⅱ）S△ABC=

1

2

×1×|x2-x1|
∵

x1+x2= 6k 1-3k2 x1x2= -6k 1-3k2

∴S△ABC=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

24-36k2

1-3k2

=

6-9k2

1-3k2

=

6

?k=0或k=±

2

2

，又-

3

3

＜k＜

3

3

∴k=0
则直线l的方程为y=1

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系，一般采用的方法是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，得到关于某未知数的二次方程，再利用韦达定理找突破口来解决．