Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】(1) 的极坐标方程,曲线的普通方程 (2)-4

【解析】

（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用消去参数，化简为直角坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率.

（1）曲线的圆心极坐标为，半径为1，所以，其极坐标方程为.

由题意得：，，曲线的普通方程.

（2）当时，，，所以，

于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），

代入的普通方程，整理得关于的方程

.①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，设对应的参数为，，则.

由韦达定理得：，，.

所以，直线的斜率为-4.